L'estrazione della radice quadrata con il metodo Bombelli
L'estrazione della radice quadrata con il metodo Bombelli é un sistema manuale, algebrico, basato sui numeri interi.
Molto semplice, si può fare a mano.
E' uno dei primi algoritmi moderni che porta ad un risultato preciso e non per oscillazioni o convergenze.
Me l'hanno insegnato alle scuole medie, l'ho subito dimenticato perchè subito dopo ho iniziato a programmare calcolatori intelligenti.
Ma mi è rimasto impresso il metodo, molto pratico, vista l'epoca del sistema (intorno alla metà del 500).
In estrema sintesi si calcola per passi successivi, riportando a semplici moltiplicazioni e differenze il calcolo e non richiede alcuna nozione di geometria analitica (su cui invece si basano i metodi più sofisticati e rapidi impostati successivamente).
Può essere utile anche per apprendere i rudimenti di un algoritmo ripetitivo e può essere facilmente "insegnato" ad un computer riportandone il metodo, se vogliamo per esempio verificare la precisione di calcolo di un sistema decimale.
Prendiamo un numero casuale a base 10 di cui vogliamo estrarre la radice quadrata.
Per esempio :
5362451
lo spezziamo in doppie cifre partendo dalle unità :
5'36'24'51
prendiamo le prime due cifre da sinistra :
5
il metodo consiste nel trovare il numero più grande contenuto in questa cifra che venga calcolato dalla formula d*(20*x+d) con d un numero in progressione successiva 1-2-3-4... ed x pari al risultato parziale della radice quadrata che stiamo calcolando.
Applichiamo la formula :
1*(20*0+1)=1 ' al primo passaggio il risultato parziale è ovviamente 0
il numero 1 è inferiore a 5, proseguiamo :
2*(20*0+2)=4
il numero 4 è inferiore a 5, proseguiamo :
3*(20*0+3)=9
il numero 9 è superiore a 5, quindi torniamo al punto precedente. Il risultato parziale è 2
sottraiamo dalla nostra cifra il risultato della formula : 5-4 =1
Quindi il resto è 1, lo riportiamo sotto :
1
abbassiamo le successive 2 cifre del numero di cui stiamo estraendo la radice quadrata :
136
riapplichiamo la formula :
1*(20*2+1)=41 ' il numero 41 è inferiore a 136, reiteriamo
2*(20*2+2)=84 ' il numero 84 è inferiore a 136, reiteriamo
3*(20*2+3)=129 ' il numero 129 è inferiore a 136, potremmo reiterare ma è evidente che arriveremmo ad un numero superiore a 136, quindi il risultato parziale è 3 che si va ad accodare al 2 già trovato, quindi 23
sottraiamo dalla nostra cifra 136 il risultato della formula : 136-129 =7
Quindi il resto è 7, lo riportiamo sotto e stacchiamo le successive 2 cifre del numero di cui vogliamo estrarre la radice quadrata :
724
riapplichiamo la formula :
1*(20*23+1)=461 ' il numero 461 è inferiore a 724, reiteriamo
2*(20*23+2)= 924 ' il numero 924 che è superiore a 724, quindi il risultato parziale è 1 che si va ad accodare a 23. Abbiamo quindi un risultato parziale complessivo di : 231
proseguiamo, ricavando il resto dell'operazione, sottraiamo qundi 461 da 724 = 263, stacchiamo poi le ultime due cifre del numero di cui stiamo estraendo la radice quadrata, cioé 51
26351
riapplichiamo la formula :
1*(20*231+1)=4621 ' il numero 461 è inferiore a 724, reiteriamo
.................................
5*(20*231+5)= 23125 ' che è l'ultimo numero inferiore a 26351 ricavabile con la nostra formula. Quindi l'ultima cifra intera della nostra radice quadrata è 5 che in coda a 231 ci porta a 2315
volendo proseguire con i decimali, basterà ricavare il resto della differenza tra 26351 e 23125 che è pari a 3226, ci mancano le cifre ed aggiungiamo semplicemente due zeri in coda :
322600
riapplichiamo la formula :
1*(20*2315+1)=46301 ' il numero 461 è inferiore a 322600, reiteriamo
semplificando verifichiamo che il moltiplicatore massimo è pari a 322600/(20*2315) = 6.
Applicando 6 alla formula avremo :
6*(20*2315+6)=277836 ' quindi il risultato parziale è 6 che accodato a 2315 ci dà : 2315,6
il resto di 322600-277839= 44764, aggiungiamo altre due cifre decimali :
4476400
riapplichiamo la formula :
1*(20*23156+1)=463121 ' il numero 463121 è inferiore a 4476400, reiteriamo
semplificando verifichiamo che il moltiplicatore massimo è pari a 4476400/(20*23156) = 9.
Applicando 9 alla formula avremo :
9*(20*23156+9)=4168161
quindi il risultato parziale alla seconda cifra decimale è 2315,69
...
potremmo continuare con questo algoritmo ad libitum ottenendo tutte le cifre decimali che vogliamo, in modo assolutamente infallibile, conservando un resto finale sempre assolutamente preciso, quanto una calcolatrice non potrà mai fare verificate se vi va ...
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