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L'estrazione della radice quadrata con il metodo Bombelli


M&M

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L'estrazione della radice quadrata con il metodo Bombelli é un sistema manuale, algebrico, basato sui numeri interi.
Molto semplice, si può fare a mano.
E' uno dei primi algoritmi moderni che porta ad un risultato preciso e non per oscillazioni o convergenze.

uso_radice_secondo_homer.jpg.8cbdc005aaf717671cc91a35a2e636b0.jpg

Me l'hanno insegnato alle scuole medie, l'ho subito dimenticato perchè subito dopo ho iniziato a programmare calcolatori intelligenti.
Ma mi è rimasto impresso il metodo, molto pratico, vista l'epoca del sistema (intorno alla metà del 500).

In estrema sintesi si calcola per passi successivi, riportando a semplici moltiplicazioni e differenze il calcolo e non richiede alcuna nozione di geometria analitica (su cui invece si basano i metodi più sofisticati e rapidi impostati successivamente).
Può essere utile anche per apprendere i rudimenti di un algoritmo ripetitivo e può essere facilmente "insegnato" ad un computer riportandone il metodo, se vogliamo per esempio verificare la precisione di calcolo di un sistema decimale.

Prendiamo un numero casuale a base 10 di cui vogliamo estrarre la radice quadrata.
Per esempio :

5362451

lo spezziamo in doppie cifre partendo dalle unità :

5'36'24'51

prendiamo le prime due cifre da sinistra :

5

il metodo consiste nel trovare il numero più grande contenuto in questa cifra che venga calcolato dalla formula d*(20*x+d) con d un numero in progressione successiva 1-2-3-4... ed x pari al risultato parziale della radice quadrata che stiamo calcolando.
Applichiamo la formula :

1*(20*0+1)=1  ' al primo passaggio il risultato parziale è ovviamente 0

il numero 1 è inferiore a 5, proseguiamo :

2*(20*0+2)=4  

il numero 4 è inferiore a 5, proseguiamo :

3*(20*0+3)=9

il numero 9 è superiore a 5, quindi torniamo al punto precedente. Il risultato parziale è  2 

sottraiamo dalla nostra cifra il risultato della formula : 5-4 =1
Quindi il resto è 1, lo riportiamo sotto :

1

abbassiamo le successive 2 cifre del numero di cui stiamo estraendo la radice quadrata :

136

riapplichiamo la formula :

1*(20*2+1)=41 ' il numero 41 è inferiore a 136, reiteriamo
2*(20*2+2)=84 ' il numero 84 è inferiore a 136, reiteriamo
3*(20*2+3)=129 ' il numero 129 è inferiore a 136, potremmo reiterare ma è evidente che arriveremmo ad un numero superiore a 136, quindi il risultato parziale è 3 che si va ad accodare al 2 già trovato, quindi 23
sottraiamo dalla nostra cifra 136 il risultato della formula : 136-129 =7
Quindi il resto è 7, lo riportiamo sotto e stacchiamo le successive 2 cifre del numero di cui vogliamo estrarre la radice quadrata :

724

riapplichiamo la formula :

1*(20*23+1)=461 ' il numero 461 è inferiore a 724, reiteriamo
2*(20*23+2)= 924 ' il numero 924 che è superiore a 724, quindi il risultato parziale è 1 che si va ad accodare a 23. Abbiamo quindi un risultato parziale complessivo di 231
proseguiamo, ricavando il resto dell'operazione, sottraiamo qundi 461 da 724 = 263, stacchiamo poi le ultime due cifre del numero di cui stiamo estraendo la radice quadrata, cioé 51

26351

riapplichiamo la formula :

1*(20*231+1)=4621  ' il numero 461 è inferiore a 724, reiteriamo
.................................
5*(20*231+5)= 23125 ' che è l'ultimo numero inferiore a 26351 ricavabile con la nostra formula. Quindi l'ultima cifra intera della nostra radice quadrata è 5 che in coda a 231 ci porta a 2315

volendo proseguire con i decimali, basterà ricavare il resto della differenza tra 26351 e 23125 che è pari a 3226, ci mancano le cifre ed aggiungiamo semplicemente due zeri in coda :

322600

riapplichiamo la formula :

1*(20*2315+1)=46301  ' il numero 461 è inferiore a 322600, reiteriamo
semplificando verifichiamo che il moltiplicatore massimo è pari a 322600/(20*2315) = 6.
Applicando 6 alla formula avremo :

6*(20*2315+6)=277836 ' quindi il risultato parziale è 6 che accodato a 2315 ci dà 2315,6

il resto di 322600-277839= 44764, aggiungiamo altre due cifre decimali :

4476400

riapplichiamo la formula :

1*(20*23156+1)=463121  ' il numero 463121 è inferiore a 4476400, reiteriamo
semplificando verifichiamo che il moltiplicatore massimo è pari a 4476400/(20*23156) = 9.
Applicando 9 alla formula avremo :

9*(20*23156+9)=4168161

quindi il risultato parziale alla seconda cifra decimale è 2315,69

...

potremmo continuare con questo algoritmo ad libitum ottenendo tutte le cifre decimali che vogliamo, in modo assolutamente infallibile, conservando un resto finale sempre assolutamente preciso, quanto una calcolatrice non potrà mai fare :sorriso: verificate se vi va ...

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20 Comments


Recommended Comments

  • Nikonlander Veterano

Ma io ho una calcolatrice nel telefono, e se non posso digitare perché ho le mani impegnate posso chiedere a siri....

Sono a posto così...

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  • Nikonlander Veterano

Sempre siri.. che è sempre più dotato di intelligenza artificiale, si prende anche iniziative imbarazzanti.. tipo la domenica mattina ricordarmi che ci metto 15' ad andare al lavoro... 

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  • Administrator

Però quando devi scegliere il soggetto, l'inquadratura, la focale adatta, il diaframma ... non chiedi a Siri, vero ? Ti metti ad estrarre radici quadrate e i tuoi ragionamenti si sentono fin da qua che sto in Svizzera.

Perchè ovviamente non sono diventato matto che mi metto a scrivere algoritmi di calcolo a numeri interi su Nikonland giusto perchè avevo 5 minuti liberi :sorriso:

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  • Administrator

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calcolato a mano per provare il metodo che ho descritto. Foglio fotografato con l'iPhone adesso e allegato qui a riprova ;)

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  • Nikonlander Veterano

In realtà c'era una sottile ironia in quanto ho scritto.. oggi siamo dipendenti dalle macchine, si è persa l'elasticità mentale di chi faceva conti a mente, si è perso il senso del contatto umano, se io mi fermo 5' e guardo fuori dalla vetrina, sono certo che il 60% di quelli che passano a piedi sul marciapiede davanti a me, lo fanno con un telefono davanti...

Ben venga il calcolo a mente e le tecniche che ci aiutano a rendere più rapido il processo, (io una volta ricordo di aver fatto una comunione con un Metz non compatibile in ttl né in modo A quindi in manuale calcolando le esposizioni a mente tramite distanze ad occhio, come se non fosse abbastanza complesso fare una comunione)

Il mio messaggio era "usate la testa non le macchine" a lungo andare poi non vi servirà più neanche fare i calcoli... 

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  • Nikonlander Veterano

Per le equazioni e radici varie ho gettato la spugna anni fa invece.
Preferisco altro per allenare le meningi. xD

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  • Nikonlander Veterano

Mi limito alla settimana enigmistica..  ma non tutto però..  e anche la lettura, questo mi basta ( forse.. ) per tenere le meningi in allenamento.. per mia fortuna non ho da fare ne radici..  ed altre cose amene..

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  • Nikonlander Veterano

Ho letto di corsa il titolo e mi sono chiesto "ma chi è sto Bombelli che è andato dal dentista per una estrazione?"

Incuriosito, ho aperto e ... preferivo il dentista :(

 

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  • Nikonlander Veterano
2 ore fa, Rudolf dice:

C'è sempre del metodo nella mia follia (parafrasando Amleto, Atto II, scena II)

Argomento interessante ma terribilmente ostico. E rimarrà tale, temo.
Mauro, c'era del metodo sì nella follia di Amleto e il metodo era la follia stessa. Un furbacchione 9_9

 

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  • Administrator

verificate se vi va

insomma...mi pare che su questo argomento nessuno abbia voglia di discutere al ribasso o al rialzo. Né di misurare.

No contest.

Ci sei riuscito, dopo 12 anni...🤣

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  • Administrator
17 ore fa, Sakurambo dice:

Per le equazioni e radici varie ho gettato la spugna anni fa invece.
Preferisco altro per allenare le meningi. xD

Dici ? Guarda che Bombelli era un matematico romano !

Perchè dovresti spiegarmi come mai io continuo a sentire da qua il rumore delle tue rotelle mentre estrai "radici quadrate" del tipo :

Sony A7 III + Sony 24-105/4 - lettore XQD + SD veloce, moltiplicato per una XQD che non viene data in omaggio, elevato alla necessità di un flash dedicato >=
Nikon Z6 + Nikon 24-70/4 + Nikon FTZ, + lettore XQD - scheda XQD Sony in omaggio, niente flash dedicato, elevato al mensile dell'abbonamento a Photoshop CC, con il resto di un Tamron G2 incompatibile con l'FTZ

raffrontato con 

lim f(x) per x che tende a (spendere meno) di [ tanti euro ]

:sorriso:

e naturalmente nemmeno una parola su quali foto da fare con questo e con quello e, nemmeno, en passant, una foto fatta in vacanza questa estate con quello che già hai

:daccordo:

  • Like 1
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  • Nikonlander Veterano

Le foto estive sono in elaborazione, mi stavano aspettando ansiosamente al rientro dalle vacanze...:|

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  • Nikonlander Veterano
1 ora fa, Rudolf dice:

Dici ? Guarda che Bombelli era un matematico romano !

Perchè dovresti spiegarmi come mai io continuo a sentire da qua il rumore delle tue rotelle mentre estrai "radici quadrate" del tipo :

Sony A7 III + Sony 24-105/4 - lettore XQD + SD veloce, moltiplicato per una XQD che non viene data in omaggio, elevato alla necessità di un flash dedicato >=
Nikon Z6 + Nikon 24-70/4 + Nikon FTZ, + lettore XQD - scheda XQD Sony in omaggio, niente flash dedicato, elevato al mensile dell'abbonamento a Photoshop CC, con il resto di un Tamron G2 incompatibile con l'FTZ

raffrontato con 

lim f(x) per x che tende a (spendere meno) di [ tanti euro ]

:sorriso:

e naturalmente nemmeno una parola su quali foto da fare con questo e con quello e, nemmeno, en passant, una foto fatta in vacanza questa estate con quello che già hai

:daccordo:

Bella questa Equa - azione...   

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  • Administrator
Il 28/9/2018 at 14:27, Pedrito dice:

🎵🎵  La matematica non sarà mai il mio mestiere...  🎶  :marameo:

E non mi pare affatto, almeno leggendo determinate elocubrazioni di ieri !
La fotografia è arte pratica, applicata al reale, non filosofia deduttiva.
Né matematica o geometria analitica !

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  • Administrator
Il 28/9/2018 at 14:27, Pedrito ha scritto:

🎵🎵  La matematica non sarà mai il mio mestiere...  🎶  :marameo:

Eppure questo è uno dei miei blog più frequentati : al quarto posto, dopo la Ferrari di John Elkann che fa cagare, le mascherine di Carrera fatte in Tagikistan e il profumo della candela al gusto "vagina" dell'ex fidanzata di Harvey Pitt !
Essendo che siamo su Nikonland, qualche cosa questo significherebbe, no ? :rotfl:

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